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Lógica de predicados

La lógica de predicados es un Lenguaje formal donde las sentencias bien formadas son producidas por las reglas enunciadas a continuación.

Lenguajes y estructuras de primer orden

Un lenguaje de primer orden' $\mathfrak{L}\,$ es una colección de distintos símbolos clasificados como sigue:

El símbolo de igualdad' $=\,$ ; las conectivas $\lor\,$ , $\lnot\,$ ; el cuantificador universal $\forall\,$ y el paréntesis $(\,$ , $)\,$ .
Un conjunto contable de símbolos de variable $\{v_i\}_{i = 0}^\infty\,$ .
Un conjunto de símbolos de constante $\{c_\alpha\}_{\alpha \in \Alpha}\,$ .
Un conjunto de símbolos de función $\{f_\beta\}_{\beta \in \Beta}\,$ .
Un conjunto de símbolos de relación $\{R_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}\,$ .

Así, para especificar un orden, generalmente sólo hace falta especificar la colección de símbolos constantes, símbolos de función y símbolos relacionales, dado que el primer conjunto de símbolos es estándar. Los paréntesis tienen como único propósito de agrupar símbolos y no forman parte de la estructura de las funciones y relaciones.

Los símbolos carecen de significado por sí solos. Sin embargo, a este lenguaje podemos dotarlo de una semántica apropiada.

Una $\mathfrak{L}\,$ -estructura sobre el lenguaje $\mathfrak{L}\,$ , es una tupla consistente en un conjunto no vacío $A\,$ , el universo del discurso, junto a:

Para cada símbolo constante $c\,$ de $\mathfrak{L}\,$ , tenemos un elemento $c^{\mathfrak{A}} \in A\,$ .
Para cada símbolo de function $n\,$ -aria $f\,$ de $\mathfrak{L}\,$ , una function $n\,$ -aria $f^{\mathfrak{A}} : A^n \longrightarrow A\,$ .
Para cada símbolo de relación $n\,$ -aria $R\,$ de $\mathfrak{L}\,$ , una relación $n\,$ -aria sobre $A\,$ , esto es, un subconjunto $R^{\mathfrak{A}} \subseteq A^n\,$ .

A menudo, usaremos la palabra modelo para denotar esta estructura.

La lógica de primer orden

La lógica de primer orden (LPO) o cálculo de predicados de primer orden es un sistema de la lógica matemática que extiende la lógica proposicional y a su vez es extendida por la lógica de segundo orden.